素数は何に使われますか?

私たちは皆、素数とは何かを知っているはずです。しかし、なぜ？これらの数字の何が特別で、それほど重要なのでしょうか?それらの存在、性質、有用性は、数学の本質的かつ固有の要素となります。しかし、これでは私たちの質問の答えにはなりません。少なくとも直接的には。それらを「本当に」何に使うのでしょうか？

素数とは何ですか?

多くの人が覚えていないかもしれない基本的な質問、つまり素数とは何ですか?を復習しましょう。これらの図形は、それ自体と 1 でのみ割り切れるという特徴があります。残りの数は化合物と呼ばれます。素数の例は、2、3、5、7、11 です。古代ギリシャでユークリッドが説明したように、素数の数は無限です。これは、私たちがこれらの数について言及した最初の資料でもあります。とりわけ、慣例により、数字 1 は合成でも素数でもみなされないことを知っておくことが重要です。哲学者マリーヌ・メルセンヌにちなんで名付けられたメルセンヌ素数は、素数であるだけでなく、2 の累乗マイナス 1 (つまり、[2^n] – 1) でなければなりません。これらの数字自体が重要ですが、その理由を見ていきましょう。

しかし、すべての素数に戻ると、結局のところ、これらはすべての (合成) 数値を構築するための「レンガ」です。これをより深く理解するために、ニューロストリームは数学者、科学コミュニケーター、教授であるホセ・サンティアゴ・ガルシア・クレマデス氏に連絡を取りました。 「私は素数を他の数字の設計者として見るのが好きです。しかし、誰も素数を構築しません。彼らは孤児の設計者です。これが素数を非常に興味深いものにしています。彼らは他の数を構築しますが、そうではありません。」と彼は説明します。それらがどのように構築されたかを知っているのです。」同様に、サンティは、ユークリッドにとって素数は原子が重要であるのと同じように数に関係し得ると私たちに説明します。

彼らの特別な性質は、彼らを本当に特別なものにします。たとえば、それらを見つけて定義しようとするさまざまなアルゴリズムがありますが、実際には、それらの外観は完全にランダムに見え、予測不可能です。 「現時点では、その分布はカオス的であると想定されています。ただし、その蓄積にパターンがあると仮定する仮説はありますが、ガウスはそれをすでに決定しています。このカオス的分布にパターンが見つかった場合、それは非常に興味深い未解決の質問です。」私たちがどこから来たのかについて多くの情報が得られるかもしれない」と彼は言う。 「カオスを特定できれば、同様にカオスに見えるいくつかの自然現象の理解に近づくことになるでしょう。」これらすべての理由により、素数は歴史上最も重要な数学者の注目を集めてきました。それは、素数が真の知的挑戦を表しており、その美しさ、または場合によっては有用であるためです。

数学に基づいて

おそらく、数学的知識を持つ文化であれば、素数の存在と重要性を直感的に理解しているでしょう。私たちがそれらについて意識しているという証拠が書かれたのはギリシャになってからですが、これらの数字ははるかに古い文明の数学の基礎となっています。素数は算術の基本定理に不可欠です。 「あらゆる数値は、素数の一意の積に分解されます。1 から無限大までのあらゆる数値について、各数値ごとに素数の一意の分解が存在します。」とサンティは説明します。

「ユークリッドは、一種の数字の料理人でした。彼は、数字がどのように構築され、分解されるかを調べるのが好きでした。彼は、数字を最小部分に分解できる、すべての数字に共通する均質な構造を探しました。彼は、あらゆる数字をスクラッチするアルゴリズムを定義し、それをすべての部分に分解します」

これは、ほとんどすべての人が学校で練習した階乗分解の基礎です。ユークリッドはすでにこの定理と素数自体の両方を定義しています。さらに、彼は最大公約数と最小公倍数も定義し、それらを決定する方法 (今日ユークリッドのアルゴリズムとして知られているもの) を提供しました。覚えていない方のために言っておきますが、これはすべて、これから行う計算の基本です。これは、単純であるか複雑であるかにかかわらず、あらゆる数学的アプローチの算術基礎となります。

素数は何に使われますか?

本題に入りましょう。それらは何に使われますか?それらをどのように使用し、何を解決するのでしょうか?まず第一に、先ほど述べたように、素数はあらゆる (つまりあらゆる) 数値の基礎を築くのに役立ちます。他の文化では、これらの数字の背後にある理論を知っていることを示したことはありませんが、私たちが説明したように、たとえそれが直感的であったとしても、彼らはこれらの数字を知っていたことを示しました。そして、それらがなければ、複雑なアルゴリズムや計算を開発することはできません。現在、数学は私たちのすべての技術的および科学的知識の基礎となっています。素数、その決定方法、そして素数がどのような理論的意味を持つのかを知らなければ、私たちは何をすることもできません。

メルセンヌ素数について尋ねられたサンティは、「非常に大きな素数と言えば、2つの側面があります。1つは役に立つもの、もう1つは非常に役に立たないものです。しかし、それは奇妙で美しいものです。役に立たない側面は、最大の素数を見つけることです。最大の素数を見つけることです。」数学理論さえも役に立ちません。しかし、それではなぜ私たちは探し続けるのでしょうか？ 「応用数学で非常に役立つことが 1 つあります。メルセンヌ素数を検索するアルゴリズムで取得される非常に大きな素数により、非常に安全な暗号コードを取得できるようになります。」実際、大きな素数を使用すると、あらゆる種類の情報を安全にエンコードできます。 「非常に大きな素数をいくつか取り出して乗算すると、それらを構成する元の素数を取得するのは非常に困難です。銀行はこれをセキュリティ番号、銀行振込、その他の業務に使用します。」

元の 2 つの数値を使用すると、コーディングは簡単に逆になります。 「掛け算は簡単ですが、約数を求めるのはもっと複雑です」と数学者は説明します。さらに、素数は、それ自体が数値的に連続して現れるため、自然界に自発的に現れます。これらは、経済的に興味深い数字を表すため、マーケティングやビジネス レベルでも使用されます。「見てみると、彼らはビール 5 分の 1 をバケツに入れるとき、通常、素数のボトルを 3、5、または 7 本入れます。しかし、通常は2 人で 2 人、友人 4 人、または 3 人を目指します。最終的にはキューブが足りなくなり、別のキューブを購入するようになります。そして、すでに述べたように、素数は日常生活の中に、また、セミの繁殖期、フィボナッチ数列、またはバーの 5 分の 1 のビールが入ったバケツの中など、まったく予期しない場所にも存在します。